Integralkerne in L.W. Kantorowitsch, G. P. Akilow Funktionalanalysis in normierten Räumen

January 23, 2010 at 1:13 pm Leave a comment

My blog was supposed to be english only. But I started compromising on the intent in blog post #2, so I figured I might as well compromise regarding the used language. Someday I should start blogs sorted by topic and language.

I’m in search for a theorem stating the existence and smoothness properties of an integral kernel function.

I haven’t found many resources regarding this, but I was told to look at L.W. Kantorowitsch, G. P. Akilow Funktionalanalysis in normierten Räumen, ISBN: 3 87144 327 1, which is a translation of their Russian book into German by Heinz Langer and Rolf Kühne. I couldn’t find any theorems in there that I needed (I want to proof the existence of a smooth kernel function for a square of any smoothing operator.) But as I’ve scanned through the book now, I want to list what my comment were. Actually it’s just a list of all mentionings of integral operators. I don’t know whether this is of use for anyone, but maybe someone down the road has the same question, gets told to read the same book, so maybe this will save him or her some time. [And by writing this down, I know I’ve really read the book 😉 ]
As the book is in German, I will write this blog post in German:

Dies ist eine Zusammenstellung aller Erwähnungen von Integralkernen in L.W. Kantorowitsch, G. P. Akilow Funktionalanalysis in normierten Räumen übersetzt ins deutsche von Heinz Langer und Rolf Kühne. Hier ist z.B. der OpenLibrary Artikel zu Funktionalanalysis in normierten Räumen. Es erschien in Mathematische Lehrbücher und Monographien — Bd. 17 und das Erscheinungsjahr war 1964 beim Akademie-Verlag Berlin. Mathematical Reviews (MathSciNet): MR177273. Hier der Datensatz in der Deutschen National Bibliothek DNB: Funktionalanalysis in normierten Räumen. Das russische Original läuft unter: {\cyr Funktsionalʹnyĭ analiz v normirovannykh prostranstvakh} auf der Seite von MR zum russischen Original findet sich auch der russische Name. ISBN: 3871443271

Zuerst zur Notation: Ich brauchte mehrmals Erinnerung bzgl. der Notation. Und zwar steht das C im Buch für C^0([a,b],\mathbb{R}) (siehe Seite 5). Das \tilde{M} im Buch steht für L^{infty}(D,\mathbb{R}) für eine meist beschränkte, messbare Menge D. Für L_T^p steht für L^p(T,\mathbb{R}). Und \text{mes} T steht für das Maß \mu (T) der Menge T. Auf Seite 100 gibt es dann die Zeile (x,y)=\int _a^bx(t)\overline{y(t)} dt. Hier sind Funktionen also komplex-wertig. Wie man an der Notation erkennt, welche Funktionen komplex-wertig sind und welche reell-wertig, kann ich nicht genau sagen.  Charakteristische Zahlen sind die multiplikativen Inversen der Eigenwert ungleich Null. Auf Seite 61 wird auch noch das wesentliche Supremum \text{esssup} eingeführt. Das Buch nutzt hierfür die Notation \text{vrai max}. Insbesondere heißt es in der Fußnote zur Definition von “vrai max” auf Seite 61: Das wesentliche Maximum der Funktion f(t) wird vraimax f(t) bezeichnet und es ist definiert als das Infimum der Zahlen A, für welche die Menge aller Werte t mit f(t)>A das Maß Null hat.

So nun zu den Stellen im Buch, die Integralkerne benutzen:

S.90ff :  Für Funktionen C^0([a,b],\mathbb{R}) und ein stetiges k\in C^o([a,b]\times [a,b],\mathbb{R}) kann man einen Integraloperator A definieren mittels As(m) = \int _{[a,b]} k(m,n)s(n) für eine verschiedene Funktionenen. Es wird dann gezeigt:

A: C^o([a,b],\mathbb{R}) \to C^o([a,b],\mathbb{R}) hat die Operatornorm \text{max}_{s\in [a,b]}\int_a^b|k(s,t)|dt.

A: L^1([a,b],\mathbb{R}) \to L^1([a,b],\mathbb{R}) hat die Operatornorm \text{max}_{t\in [a,b]}\int_a^b|k(s,t)|ds.

A: L^1([a,b],\mathbb{R}) \to C^o([a,b],\mathbb{R}) hat die Operatornorm \text{max}_{s,t\in [a,b]}|k(s,t)|.

Außerdem ist A:L^2([a,b],\mathbb{R}) \to L^2([a,b],\mathbb{R}) definiert und stetig, falls \int_{[a,b]^2}|k(s,t)|^2dtds < \infty .

Ist Null kein Eigenwert, so kann man kann dann die Operatoratornorm als 1/\sqrt{\Lambda _1} bestimmen, wobei \Lambda _1 die kleines charakteristische Zahl von A^*A ist. Wieso diese letzte Aussage richtig ist, weiß ich nicht genau, und wofür sie gut ist noch weniger. Ich vermute die Notation in charakteristischen Zahlen anstelle von Eigenwerten war in den 60er Jahren üblicher.

Auf Seite 396 werden Gleichungen erster Ordnung y=Ux und Gleichungen zweiter Ordnung y = x + Ux eingeführt.

Auf Seite 93 wird schon in dieser Richtung y = Ux mit y(s)=x(s) - \lambda \int _a^b k(s,t)x(t)dt definiert und dann die Operatornorm für L^2 \to L^2 als \text{sup}_k |1-\lambda / \lambda _k| angegeben, wobei hier k symmetrisch ist, so dass A^*=A.

Auf Seite 58 wird in der Gleichung nach (1) benutzt, dass \text{mes}(T) = \mu (T) endlich ist.  Vorher auf der Seite wird die Bemerkung am Ende der Seite referenziert, dass hier oBdA T=[0,1] anstatt irgendeiner auch Menge auch mit möglicherweise unendlichem Maß gewählt werden kann. Für Inklusionen L^q(T,\mathbb{R}) \to L^p(T,\mathbb{R}) ist es aber entscheidend, dass die Menge T endliches Maß hat. Was soll dann dieses Bemerkung, dass [0,1] oBdA gewählt werden könnte?

Auf Seite 288 wird definiert Ux (s) = y(s)=\int _D k(s,t)x(t) dt für s\in D', t\in D mit \mu (D) < \infty , \mu (D') < \infty , \text{ess-sup}_s || k(s,t) ||_{t,L^r} \leq C_1 fast überall, \text{ess-sup}_s || k(s,t) ||_{s,L^{\sigma }} \leq C_2 fast überall, q\geq p, q\geq \sigma, (1-\sigma / p)p'\geq r [hier wie üblich p^{-1}+p'^{-1}=1]. Unter all diesen Voraussetzungen ist U : L^p(D,\mathbb{R}) \to L^q(D', \mathbb{R}) und die Operatornorm ist kleiner als C_1^{1-\sigma / p}C_2^{\sigma /q}. Dies wird in C.L. Smolitzki “Über die Summeirbarkeit von Potentialen”, Uspetchi. Matem. Nouk. 12 (1957) 4, 349-356 verallgemeinert.

Auf Seite 290 die Aussage von Seite 288 kann man erweitern auf den Fall, dass die eine Konstante von s abhängt: \int _D |k(s,t)|^r dt|^{1/r} \leq C_1\Psi (s) mit \int _{D'} \left( |k(s,t)|(\Psi(s))^{q/\sigma -1} \right) ^{\sigma } d s \leq C_2 und ||k||_{L^{r'}(D \times D')} \leq C. Dann gilt A_k (in meiner Nomenklatur der lineare Operator zum Kern k) ist linear und vollstetig (vollstetig = stetig + kompakt) als Operator L^p \to L^q. Hierbei ist r= \text{min}(p,q') und r^{-1}+r'^{-1}=1.

Auf Seite 293 gibt es dann noch die folgende Variante: \int _D \left[ |\text{grad}_s k (s,t)| |s-t|^{1-\beta}\right]^r d t ^{1/r} \leq E und \int _D\frac{|k(s,t)|}{|s-t|^{\beta }}d t \leq F, dann ist A_k : L^{r'}(D,\mathbb{R}) \to \text{Lip} \beta stetig. Hier steht \text{Lip} \beta für den Raum der \beta -Lipschitz-stetigen Funktionen, dieser Raum wird in meiner Nomenklatur bezeichnet als {C}^{0, \beta }(M,\mathbb{R}). Man erhält darüber hinaus die Aussage, dass A_k : L^{r'}(D,\mathbb{R}) \to C^0 sogar vollstetig (stetig + kompakt) ist.

Auf Seite 296 wird dann eine spezielle Form des Kernes k betrachtet. Und zwar soll gelten k(s,t)= \frac{B(s,t)}{|s-t|^m} für s \in D', t\in D, D\subset \mathbb{R}^\mu , D'\subset \mathbb{R}^\nu, wobei man dann \mathbb{R}^\nu\subset \mathbb{R}^\mu oder \mathbb{R}^\mu\subset \mathbb{R}^\nu annimmt, um in dem gemeinsamen Raum die Differenz bilden zu können. Hier wird außerdem angenommen, dass B(s,t) beschränkt ist und stetig für s \not= t. Desweiteren wird angenommen m+\beta < \mu ,\text{sup}_{s\in D'}\left( \int _D \frac{ {| \text{grad} _s B(s,t) |}^r  }{|s-t|^{(m+\beta -1)r}} d t\right) ^{1/r}\leq E. Dann gilt A_k : L^p (D,\mathbb{R}) \to {C}^{0,\beta } (D' ,\mathbb{R}). (keine Garantie, dass ich hier alle Voraussetzungen mit abgeschrieben haben, meine Notizen sind da etwas unklar, und das Buch liegt gerade nicht neben mir.)

Auf Seite 298 ergibt sich dann weiter für so ein k dieser speziellen Form, dass für (\mu -m)p > \mu der Operator A_k : L^p (D,\mathbb{R}) \to {C}^{0} (D' ,\mathbb{R}) stetig und kompakt ist. (Apropos: Ich vermute man definiert normalerweise kompakt nur für stetige Operatoren, so dass erstes wahrscheinlich gar nicht erwähnt werden muss.)

Auf Seite 335 habe ich die Frage: Wie wählt er da V\cap -V und nicht einfach V als Menge? Weißt das jemand?

Auf Seite 432 wird wieder ein Operator mit einem stetigen Kern k: [0,1]^2\to \mathbb{R}  betrachtet. Wieder ist die Operatornorm von A_k:C^0 \to C^0 gegeben durch \text{max} _{s \in [0,1] } \int _0^1 | k(s,t) | d t. Es wird dann ein Operator definiert mittels y=\tilde{U}=x-\lambda A_k x. Es wird gezeigt: Dieser ist lösbar für \lambda < ||A_k||_{C^0\to C^0} (siehe dazu auch S. 149ff). Es werden dann iterierte Kerne betrachtet. Iterierte Kerne sind die Kerne für die Operatoren (A_k)^i=B^i für i\in \mathbb{N}. Man betrachtet dann B=\sum _i \lambda ^{i-1}A_k^i um dies als Lösungsoperator für \tilde{U} zu erkennen. Es wird dann der Kern zum Operator B betrachtet und überlegt in welcher Weise die Kerne der Partialsummen gegen diesen Kern konvergieren. Die Kerne k_{B^i} zu B^i ergeben sich dann per Iteration mittels k_{B^{i+1}}(s,u) = \int _0^1 k_{B^{i+1}}(s,t)k(t,u) d t. Und für \lambda klein genug erhält man die Konvergenz der Kerne für festes t – aber gleichmäßig in t – wenn man die Funktionen k_{B^i}(s,t) im Raum L^1 bezüglich der Variable s betrachtet.  [Achtung: Hier weicht meine Notation von der von Kantarowitsch und Akilow ab.]

Auf Seite 440 habe ich die Frage: Was sind denn die Voraussetzungen dafür das eine Projektion exisiert? Was braucht man zusätzlich zu den folgenden Voraussetzungen: X normierte Vektorraum, \tilde{X} \subset X ein Teilraum, \tilde{X} vollständig, X nicht zwingend vollständig. Braucht man noch eine weitere Bedingungen dafür, dass eine Projektion P: X \to X auf tilde{X} existiert?

Auf Seite 441 bin ich unsicher, was das da heißt. Was sind die Quantoren vor \mu _1 , \mu _2? Meinen sie \exists oder \forall ?  Ich denke \forall \mu _1 , \mu _2 macht mehr Sinn. Auf der anderen Seite hängt wohl \mu _2 von y nicht ab. \mu _1 und \mu hängen aber schon von y ab. Da kann es ja dann eigentlich nicht “für alle” sein. Hm. Hilft da jemand?

Auf Seite 490 habe ich die Frage: Wie soll ich hier die Referenz auf IX.4.3 vertsehen? Wann hat man denn im Allgemeinen schon einen Operator dessen Spektrum beschränkt ist?  [jetzt habe ich das in meiner Anwendung, für die ich das Buch gelesen habe, nicht.]

Auf Seite 529 ist k meßbar aber nicht unbedingt stetig!!! Aber es gibt andere Voraussetzungen. Hier wird die Gleichung x(s)=\lambda \int_a^b \phi (s,t,x(t)) d t betrachtet. Es wird nun gefordert, dass \phi die folgende Form hat: \phi (s,t,u)= K(s,t)\psi (t,u). Nun fordert man, dass \psi auf [a,b]\times [-h,h] definiert und stetig ist. Außerdem sei K auf [a,b]^2 definiert und dort gelte A^2 = \text{sup}_{s\in [a,b]}\int _a^b |K(s,t)|^2 d t < \infty . Die Gleichung hat dann eine auf  [a,b] quadratisch summierbare Lösung, wenn |\lambda | \leq \frac{q}{AM_2\sqrt{b-a}} wobei M_2=\text{max}_{a\leq t \leq b , |u|\leq h}|\psi (t,u)|. Man setzt dabei natürlich voraus, dass die Werte von x betragsmäßig nicht h übersteigen.

Auf Seite 544 betrachtet man bilinear Operatoren B(x,x')=y. Man kann machne diese Operatoren über die folgende Integralgleichung definieren: y(s) = \int _0^1\int _0^1 k(s,t,u)x(t)x'(u) d t du. Dies kann man z.B. für k stetig betrachten und x und x’ aus den Räumen C^0 oder L^p. Im Folgenden werden dann aber nur Operatoren von der Form y(s) = \int _0^1k(s,t,t)x(t)x'(t) d t betrachtet.

Die Norm für den Operator L^p([0,1],\mathbb{R})\to L^p([0,1],\mathbb{R}) mit p>2 ist: \int _0^1 \left( \int _0^1 {|k(s,t)|}^{\frac{p}{p-2}} d t \right)^{p-2} d s.

Die Norm für den Operator L^2([0,1],\mathbb{R})\to L^2([0,1],\mathbb{R}) ist: \int _0^1 \sup _s |k(s,t)| d t.

Die Norm für den Operator C^0([0,1],\mathbb{R})\to C^0([0,1],\mathbb{R}) ist: \max _{s\in [0,1]} \int _0^1 |k(s,t)|dt.

Aus Seite 548 werden dann Gleichungen der Form y=P(x) mit y(s)=\int _0^1k(s,t,x(t)) d t betrachtet und geguckt, wann hier Differenzieren unter das Integral gezogen werden kann. Dafür wird vorausgesetzt, dass k stetig in allen Variablen gemeinsam und zweimal stetig differenzierbar in u ist, und weiter, dass | \frac{\partial ^2}{\partial u^2}k(s,t,u)|\leq M{|u|}^{p-2} + N. Dann ist P:L^p\to L^q ein stetiger Operator der zweimal differenzierbar ist in jedem x\in L^p. Die Ableitungen berechnen sich dann durch ziehen des Integrals unter das Integralzeichen: P'(x_0) x = \int _0^1 \left( \frac{\partial }{\partial u}K \right) (s,t,x_o(t)) x(t) d t und P''(x_0) (x,x')= \int _0^1 \left( \frac{\partial ^2}{\partial u ^2}K \right) (s,t,x_o(t)) x(t)x'(t) d t. (p,q sind in diesen Zeilen unabhängig von einander. Es wird also in dieser Notation und auch sonst im Buch nicht q=p’ mit p'^{-1}+p^{-1}=1 gefordert.)

Auf Seite 549 denke ich, hat sich ein Schreibfehler eingeschlichen. Es sollte dort heißen: “Wir beweisen jetzt die Differenzierbarkeit des Operators P und die Beziehung P'(x_0)=U. Es sei z=U(x).” Hier endet das Zitat im Buch in meiner Auflage im Vergleich dazu auf z=U(z).

Auf Seite 588 wird dann ein Operator y=Px = x - \int_0^1k(s,t,x(t)) dt definiert für k stetig mit stetigen Ableitungen wo nötig. Gesucht wird dann ein x mit x=Px.  Es wird dann vom Raum X gefordert, dass sich in diesem die Differenziation unter das Integralziehen lässt. (Anmerkung, z.B. glatte Funktionen auf kompakten Gebiet erfüllen dies ja, aber man kann bestimmt auch andere Bedingungen fordern.) Unter diesen Bedingungen gilt dann der Satz: Erfüllt k einige Bedingungen, so konverviert das Newton verfahren. Vergleiche hierzu den wikipedia: Satz von Kantorowitsch. (Dies hat aber nun schon nur noch sehr bedingt etwas mit dem Thema zu tun, weswegen ich das Buch gelesen habe.) Ab Seite 592 wird dann noch im Anschluss eine Weg gezeigt wie man unter bestimmten Voraussetzungen an die Gleichung y=Px, diese Gleichung approximieren kann, um dann über die Lösungen dieser approximierten Gleichung an einen Startweg des Newtonverfahrens zu gelangen, der den Bedingungen des vorhergehenden Satzes genügt und so eine Konvergenz garantiert. (Ich hoffe, diese Zusammenfassung der letzten Seiten stimmt so, ich habe sie nur überfolgen, weil das nicht das war, was ich suchte.)

So, dass sollen meine Kommentare zu diesem Buch gewesen sein?

Hat irgendjemand anderes noch Kommentare? Oder noch besser: Hat jemand eine Zusammenstellung von Sätzen zu Integralkernen. Insbesondere über deren Existenz und deren Eigenschaften in Abhängigkeit Eigenschaften des zugehörigen Operators?

Und dann noch ein letzter Punkt: Wie bei meinem letzten Post zu einem Buch Spin Geometry by H. Blaine Lawson Jr. and Marie-Louise Michelsohn – Annotations on the 1989 version of ISBN 0691085420 (siehe letzter Absatz:  “Is there a standard for annotating on-line errata for books?”) frage ich mich, wie ich diese Kommentare hätte so schreiben können, dass sie ein Computerprogramm ausliest.[Nicht vom Inhalt her nur von der exakten Position auf welche Stelle in welchem Buch sie sich bezieht.] Es wäre doch total praktisch, wenn jemand, der sich auf books.google.com oder auf einem ebook reader das Buch anguckt, am Rand angeboten bekommen würde welche Kommentar es just zu diesen Absatz des Buches im Internet gibt. Viele meiner Kommentare hier sind dafür nicht ganz so praktisch, weil sie ja nur zusammenfassen, was ein Leser des Buches schon gerade selbst gesehen hat. Aber z.B. die Kommentare zu Kommentare den Seiten 335, 440, 441, 490 und 549 würden sich an einem Buch gut machen. Und auch einen Kommentar an jedem \tilde{M}, dass das heute L^\infty heißt, wäre praktisch. Und wenn die Notation in anderen Räumen der Welt anders ist als hier, dann sollte der Kommentar halt nur manchen Nutzern angezeigt werden, z.B. abhängig davon welche Bücher ich sonst so lese. Selbst wenn es sich um offene Fragen handelt, könnte der Leser der genau auf meinem Niveau das Buch liest Feedback bekommen, ob auch andere seine Fragen hat, jemand von niedrigerem Niveau könnte auf Problemstellungen aufmerksam gemacht werden und jemand vom höherem Niveau könnte mir gerade einen 2 Zeiler zu einer meiner Fragen schreiben und so für alle kommenden Leser die Frage klären.

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